ADIM ADIM MATEMATÝK

Geleneksel olarak, sayı birçokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir.

Sayma sayıları 1'den başlayarak sonsuza kadar giderler. Doğal sayılardan farkları "0" sayısını içermemeleridir. Bunun mantığı herhangi bir şeyi (örneğin kalemleri) sayarken 0'dan değil birden başlanmasıdır.

Doğal sayılar 0'dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kimesi $mathbb N$ ile gösterilir. $mathbb{N} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }$

Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir.

Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi $mathbb Z$ ile gösterilir.

$mathbb Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }$

Başında "+" işareti bulunan veya bir şey bulunmayan sayılar pozitif tamsayılar adını alırlar. Sayı ekseninde (sayı doğrusunda) 0'ın sağ yanında yer alırlar. Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır. Pozitif tamsayılar kümesi $mathbb Z^{+}$ ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlıdır:

$mathbb Z^{+} = { +1, +2, +3,... }$

Başında "-" işareti olan tam sayılar negatif tamsayılar adını alırlar. Sayı ekseninde 0'ın sol yanında yer alırlar. Negatif tamsayılar kümesi $mathbb Z^{-}$ ile gösterilir. Cebirde çıkarma işlemi bu sayıların diğer tamsayılarla toplanması olarak ifade edilir.

$mathbb Z^{-} = { ..., -3, -2, -1 }$

0 negatif veya pozitif bir tam sayı değildir. Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz. Ancak tamsayılar aşağıdaki gibi de tanımlanabilir:

$mathbb Z = mathbb Z^{-} cap { 0 } cap mathbb Z^{+}$

Rasyonel Sayılar: Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir. Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir. Tamsayılar üzerindeki bölme işleminin bir genişlemesidir. Rasyonel sayıların simgesi $mathbb Q$ dur ve $mathbb Q = { frac{a}{b} | a,b in mathbb Z and b neq 0 }$ olarak tanımlanır. a herhangi bir tamsayı olabilir, ama "b" 0 dışındaki tüm tamsayılardır. Kesirli sayılardır ve artı sonsuzdan eksi sonsuza kadar giderler. $mathbb Q$ 'nün kardinalitesi alef sıfırdır. Yani eleman sayısı doğal sayıların eleman sayısına eşittir. Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayılar kümesine üyedir. Bunun nedeni b = 1 alınarak a/b formatına uygun hale getirilebilecek olmalarıdır.

İrrasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Q' kümesi ile gösterilirler. Bu kümenin en bilinen üyesi pi sayısıdır.

Örnek:√2, ∏

Hiç bir rasyonel sayı irrasyonel sayılar kümesine dahil değildir. Aynı şekilde hiçbir irrasyonel sayı da rasyonel sayılar kümesine dahil değildir.

Gerçel Sayılar: İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçel sayıları oluşturur. Bu kümeye 'reel' veya 'gerçek' sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklüklerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak $x 2 = 2$ gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna olur ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalışır ve doğada gerçel sayıların yeri olmadığını söylemeye devam eder.

Gerçel sayılar, katsayıları tamsayılar ya da rasyonel sayılar olan polinomlar kümesinin çözümlerini göstermek için kullanılırlar. Bu bakımdan gerçel sayılar kümesi, tamsayı katsayılı polinomlar kümesi $mathbb Z[x]$ in bir cisim genişlemesidir.

Gerçel sayılar kümesi $mathbb R$ harfi ile ifade edilir.

Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için reel sayılar tekrar genişletilirse kompleks sayılar kümesi elde edilir. Kompleks sayıların sembolü $mathbb C$ dir. Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metodlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir. Gerçek olmayan sayılar fikri reel sayılar kümesinde karşılığı olmayan -1 sayısının karekökünden gelmektedir. Bu sayı "i" sembolü ile gösterilir ve karesi -1 olarak kabul edilir.

Matematiksel notasyonda yukarıdaki bütün semboller büyük harfle ve kalın olarak yazılır.

Bu sayılara ek olarak matematikte, kümeler teorisi'nin uğraş alanında olan ordinal sayılar ve kardinal sayılar da sayı kavramının genişletilmesiyle elde edilmişlerdir. Bütünleme tekniğinin değişik bir uygulanmasıyla elde edilen p-sel sayılar ve reel sayılara sonsuz küçükler ve büyüklerin eklenmesiyle elde edilen sürreel sayılar da sayı kavramının parçaları olarak düşünülürler.

Not: Sıfırın doğal sayı kabul edilmediği (akademik) çevreler azımsanmayacak kadar fazladır. Sıfırı dahil etmeyen çevreler doğal sayılar kümesini $mathbb{N}_{(0)}$ sembolü ile gösterirler, sıfırı dahil eden çevrelerse sıfırın dahil olmadığı sayma sayıları kümesini $mathbb{N}^{+}$ ile gösterirler.